麦克斯韦方程，19世纪伟大的发现，现代物理学的基础支柱
从人类历史的长远角度来看，比如说，从现在开始的一万年来看，毫无疑问，19世纪最重要的事件将为麦克斯韦对电动力学定律的发现。美国内战与同一年的这一重要科学事件相比，将显得微不足道。"——理查德-费曼，第二卷；第1讲，电磁学。
偏微分方程在理论和数学物理学中发挥了巨大作用。这一切都始于19世纪，光的波动理论在观察和分析良好的实验结果的下得以确立。在这里，偏微分方程第一次作为基本物理现实的自然表达而出现。理论物理学发展的新时代从麦克斯韦、法拉第和赫兹开始。在这场物理学革命中，麦克斯韦是绝对的领头人。麦克斯韦在他的微分方程中表达了当时关于光和电磁现象的全部思想。麦克斯韦表明，电场和磁场实际上是依赖性的变量，重新定义了先前关于电场和磁场的概念。
我们可以这样说：在麦克斯韦之前，人们将物理现实（就其被认为代表自然界中的事件而言）视为物质点，其变化完全由运动组成，受制于微分方程。在麦克斯韦之后，人们把物理现实看作是由连续的场来表示的，这些场在机械上是不可解的，它们受制于偏微分方程。这种对现实概念的改变是自牛顿以来物理学界最深刻和最富有成效的改变。——A. 爱因斯坦在麦克斯韦诞辰100周年时的讲话。发表于1931年。
面对法拉第的实验结果，以及早期其他杰出的物理学家，如安德烈-马里-安培的理论，麦克斯韦对电场和磁场方程的数学形式感到困惑，并以非凡的洞察力对其方程进行了一些修改。今天，麦克斯韦的理论可以由四个方程来概括。但他的公式采用了20个联立方程的形式，包含20个变量。他的方程中的维度部分（X、Y和Z方向）必须被单独列出。他还使用了一些反直觉的变量。
这里，E和B和J分别是描述电场强度、磁通密度和电流密度的矢量场，ρ描述电荷密度，D是电位移，H代表磁场强度，t是时间。
麦克斯韦的第一个方程是：
在一个任意体积V上进行积分，我们得到：
但根据高斯定理，我们得到：
这里，q是体积V中包含的净电荷。S是包围体积V的表面。麦克斯韦的第一个方程表示。通过包围体积的表面的总电位移等于该体积内的总电荷。
麦克斯韦的第二个方程是：
在一个任意体积V上进行积分，我们得到：
使用高斯散度定理将体积积分变为表面积分，我们得到：
麦克斯韦的第二个方程表示:通过任何封闭曲面S的总向外磁感应通量B等于零。
麦克斯韦的第三个方程是：
根据斯托克定理，将左手边的表面积分转换为线积分，我们得到：
麦克斯韦的第三个方程标志着。围绕封闭路径的电动势（e.m.f. e = ∫c E.dI）等于与该路径相连的磁通量的负变化率（因为磁通量Φ = ∫s B.dS）。
麦克斯韦的第四个方程是：
在以曲线C为界的曲面S上求曲面积分，得到：
使用斯托克定理将上式中L.H.S.上的表面积分转换为线积分，我们得到：
麦克斯韦的第四个方程表明，围绕一个封闭路径的磁动力等于通过该路径边界的任何表面的传导电流和位移电流。
然后将一般方程应用于磁扰动通过非导电场传播的情况，它表明，唯一可以如此传播的扰动是那些在传播方向上横向的扰动，传播的速度是v，这是从韦伯的实验中发现的，它表示一个电磁单位中包含的静电单位的数量。这个速度与光速非常接近，我们似乎有充分的理由得出这样的结论：光本身(包括辐射热和其他辐射，如果有的话)是以波的形式通过电磁场传播的电磁扰动。——詹姆斯-克拉克-麦克斯韦，《电磁场的动力学理论》（1864年），导言。
麦克斯韦开创性论文的原始手稿 照片。皇家学会
麦克斯韦方程和哈密顿方程非常相似，它们表明了相关量随时间的变化率，在任何给定的时间，它们的值，在麦克斯韦方程中，这些量是电场和磁场。但是，麦克斯韦方程和汉密尔顿方程之间有一个重要的区别。麦克斯韦方程是场方程，而汉密尔顿方程是粒子方程，这意味着在麦克斯韦的命题中，描述系统的状态需要无限多的参数，而对于汉密尔顿的命题，需要有限的参数（三点坐标）。
麦克斯韦的电磁学方程描述了电场和磁场是如何从电荷和电流中产生的，它们如何传播，以及它们如何相互影响。这些方程不仅在帮助制定和解释理论和数学物理学的多个领域方面具有重要意义，而且还与洛伦兹力一起，量化了我们在日常生活中经历的大多数物理过程。
波兰华沙大学外的麦克斯韦方程。
麦克斯韦方程可以被认为是量子力学和现代物理学的基础支柱之一，因为它很好地解释了一个事实，即光的传播不需要介质。在19世纪，理论物理学家意识到，麦克斯韦方程有一些解决方案，其中电场和磁场可以在没有电荷的情况下同时存在。这个解是一个振荡的行进波，以每秒299792458米的速度移动。后来进行的一些实验表明，光本身也以完全相同的速度移动。这不是一个巧合，它们是同一种东西。很明显，光并不是什么神奇的实体，我们可以通过操纵电荷来创造光。这导致了人造光源的产生，如收音机（无线电波是光的一种低能量形式）、激光和同步加速器。麦克斯韦的电磁学理论所产生的仅仅是一个想法，能量可以通过电磁波从一个地方传输到另一个地方，在物理学界被证明是惊人的迷人和极其发人深省的。
2008年竖立在爱丁堡乔治大街上的詹姆斯-克拉克-麦克斯韦的雕像。