7月21日，《张朝阳的物理课》二百一十六期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从微分几何的角度重新诠释物理系学生必须掌握的矢量微积分，特别是将球坐标系下拉普拉斯算符作用于标量场的形式作为例子。

（张朝阳做微分几何和矢量微积分的引入）

回顾矢量微积分

大学中所学习的矢量微积分（vector calculus）所在的背景空间是一个三维的平直空间，且用得较多的是直角坐标系。所研究的对象是三维中的标量场、矢量场。用微分几何的语言，这其实是一个0阶张量和1阶张量，所以我们可以用微分几何工具来重新看待矢量微积分。首先复习一下矢量微积分中的一些概念，特别是拉普拉斯算符。

在矢量微积分中，一般用直角坐标系处理，包含了x,y,z轴表示。位置矢量可以表示为

或者

其中

一小段微元可表示为

随之可定义一个标量场的梯度（gradient），即沿着这一小段微元的变化或者说沿着x,y,z三个方向的变化

对于一个矢量，例如电流或者速度场，可定义散度（divergence），即表示向量场往外扩散的程度

如果矢量有如下一个特殊的情况

注意此为对偶矢量，那么这个矢量的散度就是

其中作用于标量场f的算符

称为拉普拉斯算符（Laplacian operator）。它表示标量场在空间上的二阶导数，在物理中经常出现，例如电荷密度和质量密度所代表的泊松方程

在电势和引力势的求解中就出现了拉普拉斯算符。

（张朝阳解释拉普拉斯算符的含义和使用）

而从直角坐标系变成球坐标系后，由于对位置的求导会改变球坐标的基矢，因此并不能如直角坐标系下简单地写出拉普拉斯算符。从直角坐标系变为球坐标系后，其坐标基矢有如下替换

在球坐标下，对这些坐标基矢的协变导数也非零，我们后面在回顾协变导数后再谈此问题。

回顾张量的协变导数和散度

因为微分几何可用于处理任意维的张量及求导操作，不论空间是否弯曲都成立，所以将之应用于三维平直时空仍旧成立。零阶张量是一个标量场f，任何一个一阶逆变张量用坐标基矢可表示为

其协变导数是一个二阶张量

而散度为此二阶张量的缩并，是一个标量

（张朝阳解释协变散度）

平直时空球坐标下的度规表示

在球坐标中

坐标基矢为

注意这不是正交归一对偶标架。任何一个一阶逆变张量的形式为

所以对一个位移的变化可写为

因此正交归一对偶标架可写为

此小位移的长度为

从中可看出度规为

从正交归一对偶标架也可得到度规

其分量有

另外分量都为0。三维平直空间的度规在球坐标系下表示为

（张朝阳计算球坐标形式下的三维平直时空的度规分量）

球坐标下的拉普拉斯公式

标量场f的梯度在球坐标中为

令

需要注意这定义出的对偶矢量，即写出分量时指标在下。根据前面所写下的协变散度公式，有

这里第三行到第四行，我们用到了度规的逆为

此处三维平直空间中的球坐标的克氏符的缩并为

其中我们用到了度规只有对角元的性质

当β=1时，克氏符的分量为

当β=2时，克氏符的分量为

当β=3时，克氏符的分量为0

最终代入到拉普拉斯算符的表达式中，得到

这正是我们在电动力学中熟悉的拉普拉斯算符作用于标量场的表达式。

（张朝阳推导球坐标形式下的三维平直时空的拉普拉斯算符）

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