费曼读书时想到的古怪问题，80年后终于得到解决
费曼有许多既有趣又值得深思的想法，为科学世界带来深刻的洞见。其中一个问题源于他在普林斯顿大学读博期间，即反向喷水（吸水）的洒水器如何运动，这道题一度被称为“费曼问题”，吸引了许多物理学家和物理教师的关注。如今，这个问题终于迎来了圆满的解答。
撰文 | 瞿立建
科学顽童、大物理学家费曼酷爱搞怪，有很多奇思妙想。不过，他的很多奇思妙想不是纯属娱乐，而是很有技术含量和思想深度，让很多科研人员禁不住去深入思考。
比如，我们知道，穿过导体的磁通量发生变化，导体回路中会产生电动势。而费曼在他的课堂上讲了多种例外的情形（见《费恩曼物理学讲义》第2卷第17章）。这启发物理教师们发表大量论文去辨析其中的微妙之处。
《费曼物理学讲义》第1卷第46章用一章的篇幅分析了一种永动机——布朗棘轮（Brownian ratchet），这是通常的教科书中很难见到的题材。费曼的分析吸引物理学家做更深入的思索，在热力学、生物物理、量子力学等领域产生了非常丰富的结果，并用费曼的名字重新命名了这一假想的装置。
费曼把自己的诸多趣事写成了书——《别逗了，费曼先生！》（Surely You’re Joking, Mr Feynman!），自1985年出版以来，至今依然不断再版。
这本书里有一个故事引起了物理教师和物理学家的广泛兴趣。
洒水器问题
费曼在普林斯顿大学读研究生的时候，他在“高大上”的加速器实验室做了一个很“low”的实验。实验的缘起是同学们对于流体力学课本中一道习题有争议。《别逗了，费曼先生！》叙述这道题如下：
有一个S形的草坪喷水器——装在转轴上的一个S形管子——水以合适的角度向轴线方向喷，这就使它朝某一方向转动。人人都知道它是怎么转的；它向与水喷出的方向相反的方向倒退。现在问题是这样：如果是一个湖，或者游泳池——水有的是——你把这个喷水器整个放在水下，却让它往里吸水，而不是往外喷水，它朝哪个方向转？它还是会像它在向空中喷水的时候那样转吗？或者它会朝相反的方向转？
这就是著名的费曼洒水器问题（Feynman sprinkler）。
图中（左）喷水器喷水时会逆时针旋转，但它在吸水时，会发生什么？图源：《费曼传：天才的人生与思想世界》（格雷克著）
费曼的同学们对这个问题的答案莫衷一是。费曼与他的导师约翰·惠勒讨论这个问题，也得不到答案。惠勒说：
“昨天，费曼让我相信，它倒退着转。今天，他同样让我相信，它朝相反的方向转。我不知道明天他会让我相信它怎么个转法儿！”
费曼（右）与惠勒（左）。图源：RYAN INZANA
费曼决定做个实验看一下。
费曼在加速器实验室一通忙活，做出装置开始实验，结果因加的压力太大，整个装置分崩离析，玻璃片和水四下纷飞，有个来看热闹的同学被浇成了落汤鸡，万幸没有人被玻璃碎片所伤。负责加速器实验室的教授看到一片狼藉，大为光火，呵斥费曼去学生实验室做这种“低端”的实验。
据格雷克（James Gleick）在《费曼传》所述，尽管实验失败，但费曼确信问题的答案是，喷水器吸水时会颤动一阵，转回初始位置，停留在那里。他和惠勒从未对别人说起过这个结果。
《别逗了，费曼先生！》出版后，这个故事更广为人知，重新引起很多人的兴趣。相关论文不断见诸学术期刊，理论与实验结果百花齐放：有人说喷水器吸水时会反过来转；有人说会转着转着然后停下来；还有人说转动情况与具体装置有关……过多的结论最终使教学类顶尖期刊《美国物理学报》（American Journal Physics）在1989年一度决定，鉴于实验结果彼此冲突，不再发表相关论文（Am. J. Phys. 1992, 60, 12）。不过，相关文章依然不断涌来，这一决定未能执行下去。
这个看似简单的问题，一直吸引着物理学家和物理教师们的热烈讨论，就各种现象相反的实验，拼凑着互相冲突的理论。
现在好消息传来了，纽约大学的中国博士生王凯哲在导师指导下，彻底解决了这一问题的争议。
实验装置与现象
研究人员精心设计了一套装置，如下图（a）（b）所示。
（a）实验装置剖面图。（b）水流控制装置，水量可调。（c）实验观测示意图。水中添加有染料分子和小颗粒，以激光照之，用相机拍照和录影。图源：参考文献[1]
两个L形洒水管安装在一个圆柱形的装置上面。中心圆柱底部封闭，由内外两层圆柱形塑料组成，内外圆柱管顶部有个环形盖将二者连在一起。
现在要研究的问题是，洒水管浸没于水中且变成吸水管时，洒水器如何转动？
实验的关键是需要设计一个近于无摩擦的轴承。消除摩擦是实验一大挑战，这是以往实验结果千奇百怪的主要原因。研究人员将毛细管插入洒水器的内圆柱中，在洒水器周围套一玻璃环，毛细管和玻璃环周围以及两层圆柱形管之间会有毛细作用。精心设计这些设备的尺寸和材质，巧妙利用毛细作用，便能让洒水器转动的时候以毛细管为轴转动，而不会碰到毛细管。整个系统中各固体装置没有接触，因此摩擦力非常小。
研究人员首先观察了洒水器正常洒水时的运动。运动情况与直觉相符：洒水器运动类似转动的火箭，喷出的水驱动洒水器向与喷水方向相反的方向转动。
视频1：洒水器正常洒水时的转动。视频来源：参考文献[1]支持材料【视频请前往“返朴”观看】
对于反洒水器，即令洒水器吸水，洒水器也会转，只不过转速是正洒水器的1/50，且不稳定。喷进洒水器内部的水互相撞击，但不是完全迎头相撞，因此会产生一定的力矩，让洒水器转动。机器转动方向与喷水时相反，但不是简单地因为吸水与喷水方向相反。
视频2：反洒水器，即吸水的洒水器，慢速转动。视频来源：参考文献[1]支持材料【视频请前往“返朴”观看】
反洒水器内部水流动情况见下面的视频（为了使水流动情况展示地更清楚，阻止了装置的转动）。
视频3：反洒水器内部水流动情况。视频中标记的数字为雷诺数。视频来源：参考文献[1]支持材料【视频请前往“返朴”观看】
研究人员对装置还建立了数学模型，基于雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem）。
雷诺输运定理的意思很简单，某东西的量随时间的变化，等于已有的此东西随时间的变化加上此东西被送来或送出的净增量。比如说你家馒头随时间的增量，等于你家馒头随时间的变化（全家人吃馒头的速率减去蒸馒头的速率）加上别人给你家送馒头的速率（并减去你家往外送馒头的速率）。
稍微正式一点的说法是：一定体积内某物理量随时间的变化率等于该体积内部该物理量随时间的变化率加上此物理量通过该体积的表面的通量。这里所说的物理量可以说是系统任意的物理属性，比如质量、动量、能量等。
具体到本文介绍的费曼反洒水器问题，考察的物理量是角动量L，根据雷诺输运理论，有方程：
代入费曼反洒水器各几何参数，可求得流体的各物理量。具体细节，这里就不谈了。
雷诺输运方程中各符号含义。图源：参考文献[1]支持材料
实验结果与理论模型计算结果非常吻合。
(a)为实验测得的洒水器在喷水（红色）和洒水（蓝色）时洒水器转速随时间的变化；(b)为洒水器定态转速的实验结果（原点）与计算结果（方框与直线）。图源：参考文献[1]
有趣谜题的解决
反向洒水器会转，并且是与吸收方向相反转动。本研究彻底解决了一个持续数十年的争议，物理学家、教师、学生的好奇心得以满足。
这一结论似乎没有实际用途。毕竟，没有人会考虑用这种方式在草坪上吸水。不过，文章作者认为，该研究有望用于水流的精确控制，这对于从水流获取能量有重要价值。
当下还看不到这一远大的前景，还是感受物理学家和教师们为一个“小问题”持续几十年的努力吧，别有一番乐趣。
参考文献
[1] Phys.Rev. Lett. 132, 044003 (2024). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.132.044003
来自：返朴