如何描述时空的弯曲？《张朝阳的物理课》解密张量和协变导数
时空真的会弯曲吗，为什么说引力其实是时空弯曲的体现？怎么用合适的数学语言描述时空内禀的弯曲？12月15日12时，《张朝阳的物理课》第一百九十期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先简单回顾了狭义相对论带来的新时空观及爱因斯坦对等效原理的思考，紧接着继续向广义相对论进发，讲解了空间内禀弯曲与外禀弯曲的区别，引出了用不变量——张量来刻画空间内禀性质的思路，并介绍了张量的协变导数定义。
从等效原理到时空弯曲
经历了对光的世纪大讨论后，爱因斯坦对电磁力、引力以及时空性质的思考和洞察，在二十世纪前半页给物理学界带来了一次观念革命。他的狭义相对论告诉我们，时间和空间不是相互独立的，而是一个整体。一个物理事件，需要同时用三个空间坐标和一个时间坐标来共同描述，事件的集合构成一个闵氏空间。狭义相对论发表十年后，爱因斯坦从引力质量和惯性质量的关系，以及对加速度和引力的关系的思考中，意识到引力即是时空弯曲的体现。
值得注意的是，这里需要强调，所说的“弯曲”应当是一种内禀的性质。为了直观地理解这一点，张朝阳以二维平面的形变举例。首先，考虑一张铺平的白纸，无疑它是符合人类直观理解的一个“平面”，即一个数学上常说的欧几里得空间。在这个空间上，根据欧几里得几何学，在上面任意画一个三角形，它的内角和必然为180°。如果这个三角形还是直角三角形，它还会满足勾股弦定理。
接下来，可以把铺平的白纸卷成一个柱面。对生活在三维的我们来说，直观看到的是，此时白纸被人为地“弯折”了。但反过来，如果直面上有一只小虫，小到它可以暂时忽略三维世界的存在，而认为自己就生活在二维直面上。聪明的小虫会发现，根据它的测量，画在直面上的直角三角形的边长仍然满足勾股弦定理，并且内角和仍然为180°。所以它会判断，自己正生活在一个平直的二维平面上。所以根据这样一个思辨过程，卷成柱面后的白纸，只是“看上去”被弯曲了，其实并没有改变白纸本身的性质。所以这样一种弯曲，又被称为外禀弯曲（extrinsic curve）。
相对的，如果取的不是白纸，而是一张橡胶膜，并尝试用拳头在垂直于表面方向顶出顶出一个鼓包。这样得到的一个形变的二维曲面不仅看起来是弯曲的，实际也是内禀弯曲（intrinsic curve）的。还可以用聪明的小虫做一个形象的说明：假设这个小虫极其小，以至于它能够察觉不同材质的微观结构。在纸面上爬行时，它会发现纸的分子间距几乎保持不变，各点距离还是一致的。然而，当它爬上鼓包时，它会发现，鼓包处的高分子键已经被拉长了、形变了，具有一定的应力，于是它便可以相应地区分曲面是否被弯曲了。
那么如何描述一个空间的内禀弯曲呢？研究空间的内禀属性，需要寻找和研究空间上的不变量。不变量描述的正是时空最本质的特点，可以回忆在前面课程中，关注二维转动下不变的长度、四维洛伦兹变换下不变的时空间隔，都是同样的道理。而在更一般的情形中，需要关注的是在任意左边变换下保持不变的一些数学对象，一般将其称之为张量。
用张量来研究空间的性质
囿于人类的经验和观察能力，很难直接想象一个弯曲的四维时空。此时，从熟悉的欧几里得空间出发获得灵感和直觉，再将这些经验类比推广到四维弯曲时空上的学习方法特别有效。在前面的直播课中，张朝阳已经介绍过爱因斯坦求和规则，以及二维欧几里得空间中张量——特别是一阶张量——的定义。取定一组坐标基矢后，任意矢量都可以用一组三个数描述。这三个数可以取为逆变（contravariant）表达 V^α，它是向量 V 在不同基矢上的分量。也可以取为协变（covariant）表达
即矢量在特定基矢上的投影。在三维欧几里得空间，这样一个矢量长度的平方等于各分量的平方和
这个等式又可以被改成为
其中 g 即是度规张量。
在三维欧几里得空间，度规张量即是对角的单位矩阵。而一般地，它可以取为基之间的点积
不难看出，如果取的基矢都是正交的，则度规的对角项应该为0。扩展到闵氏时空中，注意到线元的定义是
对应的度规以矩阵形式应当表达为
与欧几里得空间度规本质的不同出现在左上角的“-1”，体现了时间维度与空间维度之间的差异。
用数学的语言，度规张量是一个二阶张量。结合对矢量的描述，张朝阳总结道，张量的阶数即是需要用多少个指标来标记它的分量（Component）。以闵氏时空为例，一阶张量即是矢量， 它需要用一个指标 α = 0，1，2，3 来标记区分它的四个分量。而二阶张量，除了前述的 α = 0，1，2，3 ，还需要一个额外的指标 β = 0，1，2，3 来共同标记它的 4 × 4 = 16 个分量。因为恰好拥有两个指标，二阶张量如度规张量可以被表达为矩阵的形式。
自然地，三阶张量是一组 4 × 4 × 4 =64个数，需要三个指标来标记它的分量。与零、一、二阶张量不同，它没有更为人所熟知的表达，而是一个更为抽象的数学对象。更高阶的张量的性质也类似可知。高阶的张量可以由更低阶的张量通过一种称之为“直积”的运算。“直积”即将两个张量直接“相乘”，运算的结果是一个阶数为阶数是两个相乘张量阶数之和的张量。比如，两个一阶张量直积，以逆变形式表达
结果是一个二阶逆变张量；以协变形式表达，
结果是一个二阶协变张量。
在广义相对论的学习中，经常接触的最高可到四阶张量，典型的是所谓的黎曼曲率张量。作为数学对象，高阶张量高度抽象与复杂，但正因如此，它恰好能恰当地刻画同样高度抽象和复杂地时空的内禀性质。所以，张量能够描述内禀的性质，因为按照完整的定义，张量是一个不随广义坐标变换改变的量。以局域上的矢量变换为例，如下式，在箭头左侧，取定一组基矢 e，可以将矢量表达为三个分量的形式。
但同时，施加变换坐标
后，局域上将取到一组基矢 e'，同样可以展开得到三个分量，如箭头右侧所示。可以证明，如果分量满足一定的变换规则
则可以保证整个矢量 V 保持不变。相应得，协变指标也要满足一定的变换规则
（张朝阳介绍度规与张量缩并）
弯曲时空上的协变导数
在了解了张量是描述弯曲时空内禀性质的基本工具，以及它的基本性质后，重新回到最初的问题：应该怎么描述一个时空的内禀弯曲呢？直观上来想，“弯曲”意味着相邻的不同的点上，一个矢量会发生相应的偏转。此时，向量的定义是逐点的，也就是与坐标相关的
为了叙述简便，这里暂且考虑三维空间的情况，获得相应的灵感和经验后，再将其推高到四维时空。要研究空间如何弯曲，第一步就要考虑上面的矢量场如何随着位置不同变换。数学上，考虑一个对象的变化很容易让人联想到对其求导数。
直接来想，对于一个需要若干个分量描述的对象，可以逐个求其分量的导数。以一个协变张量为例，直接求偏导即得到一组 3 × 3 = 9 个数
或者利用指标，可以将其改写为
不难看到，这样一个数学对象带有两个指标 α 和 γ，一个自然的问题是：它是一个二阶张量吗？直接计算容易验证，它不满足张量定义中要求的变换规则，所以答案是否定的。
所以，简单的求导并不能反应空间的内禀性质。为了实现这一点，可以引入一个修正项，使得
成为满足变换规则的一个二阶张量。其中
是一组由三个指标标记的数，成为克氏符（Christoff symbol）。值得注意的是，它的分量也不满足变换规则，所以克氏符也不是一个张量。而它们整体构成的二阶张量则被称之为对一阶张量的协变导数（covariant derivative）。类似的，也可以定义对二阶张量的协变导数。因为二阶张量带有两个指标，相应地，对其求导需要利用克氏符对它作两次修正
得到的是一个三阶张量。
现在的问题是，可以看到构造满足张量变换规则的导数依赖于克氏符带来的修正，那克氏符是什么呢？ 前面提到过，一个时空的性质可以用度规来刻画，于是自然地可以猜想，克氏符应该与度规有关。度规是一个二阶张量，代入上面的定义中，同样可以得到一个三阶张量。在广义相对论中，一般规定克氏符的修正要使得度规的协变导数
由于指标符号除了指代整数外，没有特定的意义，所以可以考虑轮换三个指标，得到两条等式
同时，要求克氏符满足所谓的无挠条件
此时，组合以上公式 (2) + (3) - (1) 得到
整理后可以得到克氏符对度规的依赖关系
这里利用了度规的逆为
至此，在弯曲空间上的求导操作已经被良好定义了。
截至到目前的讨论中，其实一直假设已经存在一个已知、给定的度规 g，然后去讨论如何用它构造相应的量来描述时空的弯曲，张朝阳补充解释。这样讨论的逻辑类似于分析综合法，带着存在度规的假设构建出合适的曲率表达后，可以再转而分析曲率与物质之间具体的数学关系，从而给出度规需要满足的条件，把度规具体地确定下来，便可构成一个完整的理论。
（张朝阳推导克氏符与度规的关系）
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